二次函数综合题:添加辅助线构造相似三角形和三角形中位线

  • 日期:07-20
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  已知抛物线C1:y=ax2+bx+3/2(a≠0)经过点A(1,0)和B(3,0).

  (1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;

  (2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的下方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;

  (3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:

  ①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;

  ②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.

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  考点分析:

  二次函数综合题.

  题干分析:

  (1)根据待定系数法即可求得解析式,把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标;

  (2)根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1,根据题意求得EF=4,求得EF∥y轴,设F(m,1/2m2+m+3/2),则E(m,m+1),从而得出(m+1)(1/2m2+m+3/2)=4,解方程即可求得F的坐标;

  (3)①先求得四边形DFBC是矩形,作EG⊥AC,交BF于G,然后根据△EGN∽△EMC,对应边成比例即可求得tan∠ENM=EM/EN=2;

  ②根据勾股定理和三角形相似求得EN的值,然后根据三角形中位线定理即可求得.

  解题反思:

  本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,一次函数的解析式,等腰直角三角形的判定和性质,三角形相似的判定和性质,勾股定理的应用等,难点在于(3)作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线.

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